Question

【题目】已知圆过椭圆的左、右焦点和短轴的端点（点在点上方）．为圆上的动点（点不与重合），直线分别与椭圆交于点，其中点构成四边形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意可知，再根据的关系，可求出的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设出直线的方程，并将其与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式求出，然后求出，即可求出四边形面积的表达式，进而求出取值范围即可.

（1）由题意可知，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为为圆上的动点，且不与重合，所以，直线的斜率存在且不为0.

设直线，直线，

将直线的方程与椭圆的方程联立，得，

消去并整理得，

则，

设，则，

所以，

因为直线与直线平行，所以两直线分别与椭圆相交所得的弦长相等，

用代替，可得，

所以四边形的面积．

因为，所以，

又，当且仅当时取等号，

所以，，

即四边形面积的取值范围为．