Question

设函数f（x）为奇函数，且对任意x，y∈R都有f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时f（x）＞0，f（1）=-5，求f（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义，先确定函数的单调性，不妨令x₁＜x₂，然后根据f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时f（x）＞0，可以判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，从而得到单调性，利用赋值法结合f（1）=5，可得f（2）或f（-2）的值，从而确定最值．

解答： 解：设-2≤x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0
由题意得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），故该函数在[-2，2]上递减；
所f（x）_max=f（-2），
又f（1）=-5，令x=2，y=1得：
f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
所以f（2）=2f（1）=-10，
所以f（-2）=-f（2）=10，
故f（x）_max=10．

点评：本题考查了抽象函数单调性的判断方法，以及函数最值的求法．