Question

写出一个同时满足下列条件的函数f（x）：如

f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4

①f（x）＞0（x∈R）      ②f（x）为周期函数且最小正周期为T=4π    ③f（x）是R上的偶函数   
④f（x）是在（-4π，-2π）上的增函数  ⑤f（x）的最大值与最小值差不小于4．

Answer 1

分析：因为条件②涉及函数的周期性，条件③涉及函数的奇偶性，条件④涉及函数的增函数，在我们学习过的基本初等函数只有三角函数才同时具备满足上述条件．

解答：解：由已知中各条件可分析余弦型函数f（x）=Acos（ωx+φ）+B满足上述条件
∵⑤f（x）的最大值与最小值差不小于4．
故|A|≥2，令A=2
∵①f（x）＞0（x∈R） B-|A|＞1，令B=4
∵②f（x）为周期函数且最小正周期为T=4π，故|ω|=

1

2

，令ω=

1

2

∵③f（x）是R上的偶函数，在（-4π，-2π）上的增函数，φ=（2n+1）π，n∈Z，令n=0，则φ=π
综上f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4满足要求
故答案为：f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4（主观题答案不唯一）

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的最值，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．