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(2009山东卷文) (本小题满分14分)

,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;      

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

m=0时,方程表示两直线,方程为;

时, 方程表示的是圆

时,方程表示的是椭圆;

时,方程表示的是双曲线.

1


解析:

解(1)因为,,,

所以,    即.      

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即,  即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知,  即    ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B1,

由(2)知,

有唯一解

则△=,    即,     ②

由①②得,   此时A,B重合为B1(x1,y1)点,      

 中,所以,,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即

时|A1B1|取得最大值,程

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