Question

（2012•青岛一模）已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意，得a²+b²-c²=ab，结合余弦定理算出cosC=

1

2

，从而得出C=

π

3

；
（II）由两角差的正弦公式和辅助角公式化简，结合函数y=f（x）图象特征算出f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)，将A代入可得f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，根据三角函数的图象与性质和A的取值范围，即可算出f（A）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²=c²+ab，即a²+b²-c²=ab
∴由余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵锐角△ABC中，0＜C＜

π

2

，∴C=

π

3

…（4分）
（Ⅱ）∵sin（ωx-

π

6

）=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx
∴f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin(ωx-

π

3

)
由已知

2π

ω

=π，ω=2，得f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，…（8分）
∵C=

π

3

，B=

2π

3

-A，且0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，可得0＜2A-

π

3

＜

2π

3

…（10分）
根据正弦函数图象，得0＜f(A)≤

3

，即f（A）的取值范围为(0，

3

]．…（12分）

点评：本题给出三角形ABC的边满足的条件，求角C的大小并依此求f（A）的取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．