Question

8．对于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列5个结论：
①f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{5}{2}$）+…f（$\frac{1}{2}$+2k）=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，其中k∈N；
②函数f（x）的单调递增区间为[$\frac{3}{2}$+2k，$\frac{5}{2}$+2k]（k∈N）
③函数y=f（x）-ln（x-2）仅有一个零点；
④?x₁，x₂∈[1，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立；
⑤对任意x＞0，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，则实数m的取值范围为（$\frac{5}{4}$，+∞）
其中正确的结论的序号为①③④．

Answer 1

分析 ①$f（\frac{1}{2}）$=$sin\frac{π}{2}$=1．k≥1时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），可得：$x=\frac{1}{2}+2k$，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{k}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出；
②x∈$[0，\frac{1}{2}]$时，函数f（x）=sinπx也单调递增，即可判断出正误；
③x＞2，画出图象即可判断出正误；
④分类讨论：?x₁，x₂∈[1，2]，f（x）=sinπx；?x₁，x₂∈（2，+∞），f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）；?x₁∈[1，2]，x₂∈（2，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|-1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{3}{2}$．即可判断出正误；
⑤对任意x＞0，?x∈（2k，2k+2），（k∈N）．f（x）_max=$\frac{1}{{2}^{k}}$，$（\frac{k}{x}）_{min}$=$\frac{1}{k+1}$，由于2^k≥k+1，可得f（x）$≤\frac{2}{x}$，即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$．
①$f（\frac{1}{2}）$=$sin\frac{π}{2}$=1．k≥1时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），∴$x=\frac{1}{2}+2k$，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{k}$．∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{5}{2}$）+…f（$\frac{1}{2}$+2k）=1+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{k-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，其中k∈N，正确；
②x∈$[0，\frac{1}{2}]$时，函数f（x）=sinπx也单调递增，因此不正确；
③x＞2，如图所示，函数y=g（x）=f（x）-ln（x-2），只有一个零点x=3，因此正确；
④?x₁，x₂∈[1，2]，f（x）=sinπx，|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立；?x₁，x₂∈（2，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立；?x₁∈[1，2]，x₂∈（2，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|-1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{3}{2}$．综上可得：?x₁，x₂∈[1，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立，因此正确；
⑤对任意x＞0，?x∈（2k，2k+2），（k∈N）．f（x）_max=$\frac{1}{{2}^{k}}$，$（\frac{k}{x}）_{min}$=$\frac{1}{k+1}$，由于2^k≥k+1（利用二项式定理即可得出），∴f（x）$≤\frac{2}{x}$，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，则实数m的取值范围为[2，+∞），因此不正确．
其中正确的结论的序号为 ①③④．
故答案为：①③④

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的性质、分段函数的性质、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．