Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x+1．
（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值及此时x的值；
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．
（2）根据x的范围可得2x+

π

6

∈[

π

6

 ，

7π

6

]，由此求得函数f（x）的最小值以及此时x的值．
（3）由条件求得sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

．再根据（2x₀+

π

6

）为钝角可得cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，由sin2x₀ =sin[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，利用两角差的正弦公式求得结果．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

 ，

7π

6

]，故当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，函数f（x）取得最小值为-1．
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，则有2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

．
再由（2x₀+

π

6

）为钝角可得cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
∴sin2x₀ =sin[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

-4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调区间的求法，正弦函数的定义域和值域，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．