Question

7．已知函数f（x）=ax²+lnx+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]，恒有ma-f（x）＞a²成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），根据a≥0，a＜0两种情况，利用导数性质分类讨论函数f（x）的单调性．
（2）原题等价于ma-a²＞f（x）_max，当a∈（-2，-1）时，f（x）在（1，2）上是减函数，由此利用导数性质能求出实数m的取值集合．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+lnx+1，
∴${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，当0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函数；
当x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，f′（x）＜0，则f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是减函数．
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函数，f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是减函数．
（2）由题意知对任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]时，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，
∵a∈（-2，-1），∴$\frac{1}{2}＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$，
由（1）知当a∈（-2，-1）时，f（x）在（1，2）上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=a+1，
∴ma-a²＞a+1，即m＜a+$\frac{1}{a}$+1，
∵y=a+$\frac{1}{a}$+1在a∈（-2，-1）上为增函数，
∴-$\frac{3}{2}＜a+\frac{1}{a}+1＜-1$，
∴实数m的取值集合为{m|m$≤-\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．