Question

设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线交双曲线的右支于A，B两点，设△AF₁F₂和△BF₁F₂的内心分别为C，D，若当|CD|=

9a

4

时，直线的倾斜角的正弦为

8

9

．则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁E|，|F₂N|=|F₂E|，再结合双曲线的定义得|F₁E|-|F₂E|=2a，从而即可求得△AF₁F₂的内心的横坐标a，即有CD⊥x轴，在△CF₂D中，运用解直角三角形知识，可得|CD|=（c-a）（tan

θ

2

+tan（90°-

θ

2

））=

9a

4

，运用切化弦和二倍角公式化简即可得到离心率．

解答： 解：记△AF₁F₂的内切圆圆心为C，
边AF₁、AF₂、F₁F₂上的切点分别为M、N、E，
易见C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁E|，|F₂N|=|F₂E|，
由|AF₁|-|AF₂|=2a，
即|AM|+|MF₁|-（|AN|+|NF₂|）=2a，得|MF₁|-|NF₂|=2a，
即|F₁E|-|F₂E|=2a，记C的横坐标为x₀，则E（x₀，0），
于是x₀+c-（c-x₀）=2a，得x₀=a，
同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
由直线的倾斜角θ的正弦为

8

9

，则∠OF₂D=

θ

2

，∠CF₂O=90°-

θ

2

，
在△CF₂D中，|CD|=（c-a）（tan

θ

2

+tan（90°-

θ

2

））=（c-a）•

1+tan2 θ 2

tan θ 2

=（c-a）•

cos2 θ 2 +sin2 θ 2

sin θ 2 cos θ 2

=

2

sinθ

•（c-a）=

2

8 9

•（c-a）=

9a

4

，
则c-a=a，即c=2a，
即有e=

c

a

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考察离心率的求法，属于中档题．