Question

1．设P是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=90°，则△PF₁F₂的面积为16．

Answer 1

分析 根据椭圆的方程求得c，得到|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得t₁t₂的值，则三角形面积可求．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，得a=5，b=4，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{25-16}=3$，
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则根据椭圆的定义得t₁+t₂=10，
∵∠F₁PF₂=90°，由勾股定理得t₁²+t₂²=36，
即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}=36$，∴100-2t₁t₂=36，
解得t₁t₂=32，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$t₁t₂=$\frac{1}{2}×32$=16．
故答案为：16．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，考查计算能力、数形结合思想，是中档题．