Question

10．设函数f（x）=lnx．
（1）证明：f（x）≤x-1；
（2）若对任意x＞0，不等式$f（x）≤ax+\frac{a-1}{x}-1$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数，根据导函数求出函数的最值即可；
（2）构造函数h（x），求出导函数h'（x），根据导函数对a进行分类讨论，逐步确定满足体题意的a的范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）证明：令g（x）=f（x）-（x-1），则 $g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
当x=1，g'（x）=0．所以0＜x＜1时，g'（x）＞0，x＞1时，g'（x）＜0，
即g（x）在（0，1）递增；在（1，+∞）递减；
所以g（x）≤g（1）=0，f（x）≤x-1…（4分）
（2）记h（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx，则在（0，+∞）上，h（x）≥1，
$h'（x）=a+\frac{1-a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x+1-a}}{x^2}=\frac{{a（{x+1-\frac{1}{a}}）（{x-1}）}}{x^2}（{x＞0}）$，…（5分）
①若0＜a≤$\frac{1}{2}$，-1+$\frac{1}{a}$＞1，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＜h（1）=2a-1≤0，
这与h（x）≥1上矛盾；…（6分）
②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，0＜-1+$\frac{1}{a}$＜1，（1，+∞）上h'（x）＞0，h（x）递增，而h（1）=2a-1＜1，
这与这与h（x）≥1上矛盾；…（7分）
③若a≥1，-1+$\frac{1}{a}$≤0，
∴x∈（0，1）时时h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，h（x）单调递增
∴最小值h（1）=2a-1≥1，即h（x）≥1恒成立…（9分）
④若a=0，$h'（x）=\frac{-x+1}{x^2}$，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（1）=-1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（10分）
⑤若a＜0，$-1+\frac{1}{a}＜0$，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（1）=2a-1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（11分）
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）…（12分）

点评 本题考查了函数的构造和导函数的应用，难点是对参数的分类讨论和二次函数的综合应用．