Question

下列命题中：
①在△ABC中，A＞B⇒sinA＞sinB
②若0＜x＜

π

2

，则sinx＜x＜tanx
③函数f（x）=4^x+4^-x+2^x+2^-x，x∈[0，1]的值域为[4，

27

4

]
④数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n=3ⁿ+1，则{a_n}为等比数列
正确的命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B；②设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

，求导，利用导数研究它们的单调性，即可证出sinx＜x＜tanx正确；③利用换元法：令2^x+2^-x=t，则利于二次函数在闭区间上的最值得到值域；④利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1时成立，利用等比数列的定义，即可得到结论．

解答：解：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，故①正确．
②设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

则f'（x）=1-cosx，g'（x）=

1

cos2x

-1
因为0＜x＜

π

2

，所以0＜cosx＜1，
即f'（x）＞0，g'（x）＞0
所以f（x），g（x）在（0，

π

2

）区间上是递增的，即f（x）=x-sinx＞f（0）=0，即x＞sinx
g（x）=tanx-x＞g（0）=0即tanx＞x
所以sinx＜x＜tanx．故②正确；
③函数y=4^x+4^-x+2^x+2^-x，x∈[0，1]，
设2^x+2^-x=t，则4^x+4^-x=t²-2，
∵x∈[0，1]，t∈[2，

5

2

]，
故y=t²-2+t=（t+

1

2

）²-

9

4

∈[4，

27

4

]，故③正确；
④当n=1时，a₁=S₁=3¹+1=4．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ+1）-（3^n-1+1）=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1．
又当n=1时，2×3^n-1=2×3^1-1=2≠a₁，
∴{a_n}不是等比数列．故④错．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．