Question

14．已知函数f（x）=x²-2mx+2m+1．
（I）若函数f（x）在区间（3m-1，2m+3）上是单调的，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为-7，求实数m的值．

Answer 1

分析 （I）求得函数的对称轴方程，讨论区间为增区间和减区间，即可得到所求范围；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值可能是顶点处或端点处的函数值．分别求得m的值，运用单调性检验即可得到所求值．

解答 解：（I）函数f（x）=x²-2mx+2m+1的对称轴为x=m，
若函数f（x）在区间（3m-1，2m+3）上是单调递增，
即有m≤3m-1，且3m-1＜2m+3，
解得$\frac{1}{2}$≤m＜4；
若函数f（x）在区间（3m-1，2m+3）上是单调递减，
即有m≥2m+3，且3m-1＜2m+3，
解得m≤-3．
综上可得m的取值范围是（-∞，-3]∪[$\frac{1}{2}$，4）；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值
可能是顶点处或端点处的函数值．
若f（-1）最小，且为-7，则1+2m++2m+1=-7，
解得m=-$\frac{9}{4}$＜-1，即有区间[-1，3]为增区间，成立；
若f（3）为最小值-7，即有9-6m+2m+1=-7，
解得m=$\frac{17}{4}$＞3，则区间[-1，3]为递减区间，成立；
若f（m）为最小值-7，即有m²-2m²+2m+1=-7，
解得m=4或-2，不成立，舍去．
综上可得m=-$\frac{9}{4}$或$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查二次函数的单调性的运用，考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．