Question

【题目】已知椭圆的长轴长为6，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线AM，BN的斜率分别为，试证明:的值为定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见详解.

【解析】

（1）根据长轴及离心率信息，求解，写出椭圆方程即可；

（2）由题可知直线的方程，联立方程组求得点坐标，根据对称性求得N点坐标，再计算斜率，即可证明.

（1）由题意，可得，

又，，

联立解得，，，

故椭圆的标准方程为.

（2）证明:如图，由(1)可知，，，，

据题意，的方程为.

记直线与椭圆的另一个交点为，

设，，

∵，根据对称性可得，

联立消去，得

，

∵，∴，，

∵，

，

∴，

即的值为定值0.