Question

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，过点H（0，t）的直线l于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知圆心在直线y=1上，设出圆与x轴的交点分别为A和B，由被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2得到∠ACB的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径AC和CB的长，进而得到圆心C的坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可；
（2）由t的值得到H的坐标，又直线l的斜率存在，设出直线l的方程，与圆的方程联立即可求出两交点坐标分别设为M和N，由以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，根据直径所对的圆周角为直角，得到

OM

与

ON

垂直，利用两向量垂直时数量积为0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，写出直线l的方程即可；
（3）设出直线OM的方程，根据直线OM与圆的位置关系是相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线OM的距离d，让d小于圆C的半径列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），所以圆心C在直线y=1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2：1，得∠ACB=

2π

3

，
所以CA=CB=2，圆心C的坐标为（-

3

，1），
所以圆C的方程为：（x+

3

）²+（y-1）²=4．
（2）当t=1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=mx+1，
由

y=m+1 (x+ 3 )2+(y+1)2=4

得

x=0 y=1

或

x= -4 m2+1 y= m2-4m+1 m2+1

，
不妨令M(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)，N(0，1)，
因为以MN为直径的圆恰好经过O（0，0），
所以

OM

•

ON

=(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)•(0，1)=m

m2-4m+1

m2+1

=0，
解得m=2±

3

，所以所求直线l方程为y=(2+

3

)x+1或y=(2-

3

)x+1．
（3）设直线MO的方程为y=kx，
由题意知，

|-2k-1|

1+k2

≤2，解之得k≤

3

4

，
同理得，-

1

k

≤

3

4

，解之得k≤-

4

3

或k＞0．由（2）知，k=0也满足题意．
所以k的取值范围是(-∞，-

4

3

]∪[0，

3

4

]．

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，掌握两向量垂直时数量积的值为0，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．