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已知直三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示,且D是BC的中点,
(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置,若不存在,说明理由。
(Ⅰ)证明:根据三视图知:三棱柱是直三棱柱,

连结,交于点O,连结OD,
是直三棱柱,
得四边形为矩形,
O为A1C的中点,
又D为BC中点,
所以OD为中位线,
所以∥OD,             
因为平面平面
所以∥平面。           
(Ⅱ)解:由是直三棱柱,

两两垂直,
如图建立空间直角坐标系B-xyz ,      
∵BA=2,

所以
设平面的法向量为
则有所以
取y=1,得
易知平面ADC的法向量为
由二面角是锐角,

所以二面角的余弦值为
(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点E,
因为E 在线段上,
故可设,其中
所以
因为成60°角,
所以,即
解得λ=1,舍去λ=3,
所以当点E为线段中点时,AE与DC1成60°角。
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB中点.
(Ⅰ)求证:CF⊥BB1
(Ⅱ)求四棱锥A-ECBB1的体积;
(Ⅲ)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点.
(I) 求证:平面B1FC∥平面EAD;
(II)求证:BC1⊥平面EAD.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知直三棱柱ABC-A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC,AB,AA′两两垂直,E,F,H分别是AC,AB,BC的中点,
(I)证明:EF⊥AH;    
(II)求四面体E-FAH的体积.

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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB和C1D所成的角(用反三角函数表示);
(Ⅱ)若E为AB上一点,试确定点E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点D到平面B1C1E的距离.

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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC;M.N.P分别是棱BC.CC1.B1C1的中点.A1Q=3QA, BC=
2
AA1

(Ⅰ)求证:PQ∥平面ANB1
(Ⅱ)求证:平面AMN⊥平面AMB1

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