Question

第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5，…，4011，4013，4015
4，8，…，8024，8028
…
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列．记各行的公差组成数列{d_i}（i=1，2，3…，2008）．求通项公式d_i；
（2）各行的第一个数组成数列{b_i}（1，2，3，…，2008），求数列{b_i}所有各项的和．

Answer 1

解． （1）记a_i•j表示第i行第j列的项，
∵d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k} =a_{i•（k+1）}+a_{i•（k+2）}-a_i•k-a_{i•（k+1）}=a_{i•（k+2）}-a_i•k=2d_i，
∴=2，则{d_i}是等比数列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（2）b_i+1=a_i1+a_i2=a_i1+a_i1+d_i=2a_i1+2^i-1=2b_i+2^i-1，∴=+．
∴数列{ }是等差数列，=（i-1），所以 b_i=（i-1）2ⁱ=（i-1）2^i-2，
设数列{b_i}所有各项的和S，则 S=0+1+2×2+3×2²+…+2007×2²⁰⁰⁶ ①，
∴2 S=0+1×2+2×2²+3×2³+…+2007×2²⁰⁰⁷ ②，
用①-②可得-S=-1003×2²⁰⁰⁸-1．
从而得到S=1003×2²⁰⁰⁸ +1．
分析：（1）记a_i•j表示第i行第j列的项，求出 d_i+1=2d_i，可得{d_i}是等比数列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（2）化简b_i+1=a_i1+a_i2=2b_i+2^i-1，可得 =+，得数列{ }是等差数列，b_i=（i-1）2ⁱ=（i-1）2^i-2，数列{b_i}所有各项的和S=0+1+2×2+3×2²+…+2007×2²⁰⁰⁶，用错位相减法，得到S的值．
点评：本题是中档题，考查数列的有关知识，证明数列是等差数列，数列的递推关系式的应用，数列与函数的综合应用，
考查计算能力，属于中档题．