Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），f（x）≠0，且对任意实数a，b∈（-2，2）均满足f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并说明理由．
（3）当x∈（-2，0]时，f（x）为增函数，若f（1-m）＜f（m）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令a=b=0代入恒等式即可；
（2）利用赋值法，令a=0，b=x∈（-2，2），代入恒等式，再利用偶函数的定义即可证明；
（3）利用函数的对称性和单调性知在定义域上，绝对值越大，函数值越小，依次列不等式组即可解得m的取值范围

解答：解：（1）由题意知，当a=b=0时，f（0）+f（0）=2f²（0）
而f（0）≠0，∴f（0）=1
（2）令a=0，b=x∈（-2，2），则f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）
即f（x）+f（-x）=2f（x）
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）∵函数f（x）在（-2，2）上是偶函数，且当x∈（-2，0]时，f（x）为增函数
∴f（1-m）＜f（m）?f（|1-m|）＜f（|m|）
∴

|1-m|＞|m| |1-m|＜2 |m|＜2

    
解得-1＜m＜

1

2

点评：本题考查了抽象函数的意义和应用，函数奇偶性的定义，函数单调性与奇偶性的综合应用