Question

【题目】对任意正整数n，设an是方程x2+ =1的正根．求证：
（1）an+1＞an；
（2） + +…+ ＜1+ + +…+ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：an是方程x2+ =1的正根，

解得an= ，

由分子有理化，可得an=

= ，

由 ， 在n∈N*上递减，

可得an为递增数列，

即为an+1＞an

（2）证明：由an= ，可得

= ，

由 ＜ 2n﹣1＜

1+4n2﹣4n＜1+4n2﹣4n＜0，显然成立，

即有 + +…+ ＜1+ + +…+

＜1+ + +…+ ．

【解析】（1）解方程可得an= ，再由分子有理化，结合 ， 在n∈N*上递减，即可得证；（2）求出 = ，分析法可得 ＜ ，累加并运用不等式的性质即可得证．