Question

4．计算：${A}_{3}^{2}{+A}_{4}^{2}$+…+${A}_{100}^{2}$．

Answer 1

分析 利用排列数公式${A}_{n}^{m}$=${A}_{m}^{m}$•${C}_{n}^{m}$与组合数公式${C}_{n}^{m+1}$+${C}_{n}^{m}$=${C}_{n+1}^{m+1}$，进行计算即可．

解答 解：${A}_{3}^{2}$+${A}_{4}^{2}$+…+${A}_{100}^{2}$=${A}_{2}^{2}$（${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$）
=2（${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{100}^{3}$+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{101}^{3}$-1）
=2${C}_{101}^{3}$-2．

点评 本题考查了排列数与组合数公式的应用问题，是基础题目．