Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a≠0），不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为0的数列{c_n}中，满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称作数列{c_n}的变号数，令cn=1-

a

an

(n∈N*)，求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知a²-4a=0?a=4，故f（x）=x²-4x+4．a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，所以an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

．
（2）由题可得，cn=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

，由此入手能够求出数列{c_n}的变号数．

解答：解：（1）由于不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0?a=4，
故f（x）=x²-4x+4．（2分）
由题S_n=n²-4n+4=（n-2）²，
则n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
故an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

，．（6分）
（2）由题可得，cn=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

由c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，所以i=1，i=2都满足c_i•c_i+1＜0，（8分）
当n≥3时，c_n+1＞c_n，且c4=-

1

3

，同时1-

4

2n-5

＞0?n≥5，
可知i=4满足c_ic_i+1＜0；n≥5时，均有c_nc_n+1＞0．∴满足c_ic_i+1＜0的正整数i=1，2，4，故数列{c_n}的变号数）．（12分）

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要注意公式的灵活运用．