Question

7．已知函数f（x）=cosx-lnx，实数a，b，c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c＜π），若实数x₀是f（x）=0的根，那么下列不等式中不可能成立的是（　　）

• A． x₀＜c
• B． x₀＞c
• C． x₀＜b
• D． x₀＞b

Answer 1

分析 确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．

解答 解：∵f（x）=cosx-lnx，
∴f′（x）=-sinx-$\frac{1}{x}$，
∵0＜x＜π，∴-sinx＞0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，π）递减，
∵0＜a＜b＜c＜π，且 f（a）f（b）f（c）＜0，
∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．
即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；
或f（c）＜f（b）＜f（a）＜0．
由于实数x₀是函数y=f（x）的一个零点，
当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x₀＜c，此时A，D成立．
当f（c）＜f（b）＜f（a）＜0时，x₀＜a＜b，此时C成立．
综上可得，B不可能成立，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．