如图,侧棱垂直底面的三棱柱中,,,,是侧棱上的动点.
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)试求三棱锥的体积取得最大值时的值;
(Ⅲ)若二面角的平面角的余弦值为,试求实数的值.
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.
解:(Ⅰ)证法一:∵面,∴,.
又∵,∴四边形是正方形,
∴. ………1分
∵,
∴. ………2分
又∵, ∴. ………3分
∵,
∴. ………4分
证法二:∵面,∴,.
又∵,
∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分
则,
,
∴, …2分
∴. …3分
又∵
∴. …4分
证法三:∵面,∴,.
又∵,
∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分
则,
.
设平面的法向量,
则,解得.
令,则, ……3分
∵, ∴. ……4分
(Ⅱ)∵,
∴点到平面的距离等于点到平面的距离
∴, …5分
,
令,得(舍去)或,
列表,得
|
|
1 |
|
|
+ |
0 |
- |
|
递增 |
极大值 |
递减 |
∴当时,. …8分
(Ⅲ)分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,. ……9分
设平面的法向量,
则,解得,
令,则. …10分
设平面的法向量,
则.
由于,所以解得.
令,则. …11分
设二面角的平面角为,
则有.
化简得,解得(舍去)或.
所以当时,二面角的平面角的余弦值为. …13分
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