Question

11．已知函数f（x）=2cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心；
（2）若0＜α＜π，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{3}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）展开表达式，利用二倍角与两角和的正弦函数，化为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求出函数的单调减区间即可．
（2）化简已知可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，结合角的范围利用同角三角函数关系式可求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，由cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]利用两角差的余弦函数公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∵2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
∴函数的单调减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
（2）∵0＜α＜π，且f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{1}{3}$，解得：sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
又∵$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴可得：π＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，同角三角函数关系式的应用，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，熟练记忆和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．