Question

5．若数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{3+{a}_{n}}$，则a₅的值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{3+{a}_{n}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{3+{a}_{n}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{n+2}$．
则a₅=$\frac{3}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．