【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: , ,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
【答案】(1)答案见解析;(2) ;(3)中度高血压人群.
【解析】试题分析:(1)将数据对应描点,即得散点图,(2)先求均值,再代人公式求,利用求,(3)根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值,再求与标准值的倍数,确定所属人群.
试题解析:(1)
(2)
∴
∴回归直线方程为.
(3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为(mmHg)∵
∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,四棱柱的底面为菱形, , , 为中点.
(1)求证: 平面;
(2)若底面,且直线与平面所成线面角的正弦值为,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【解析】试题分析:(1)设为的中点,根据平几知识可得四边形是平行四边形,即得,再根据线面平行判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面一个法向量,根据向量数量积求向量夹角,再根据线面角与向量夹角互余关系列等式,解得的长.
试题解析:(1)证明:设为的中点,连
因为,又,所以 ,
所以四边形是平行四边形,
所以
又平面, 平面,
所以平面.
(2)因为是菱形,且,
所以是等边三角形
取中点,则,
因为平面,
所以,
建立如图的空间直角坐标系,令,
则, , , ,
, , ,
设平面的一个法向量为,
则且,
取,设直线与平面所成角为,
则,
解得,故线段的长为2.
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【题目】过原点的一条直线与椭圆=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
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【题目】设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A. 若, ,则
B. 若, ,则
C. 若, , ,则
D. 若,且,点,直线,则
【答案】C
【解析】A. 若, ,则或;
B. 若, ,则无交点,即平行或异面;
C. 若, , ,过作平面与分别交于直线s,t,则, ,所以t,再根据线面平行判定定理得,因为, ,所以,即
D. 若,且,点,直线,当B在平面内时才有,
综上选C.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛,只有其中三位获奖.甲说:“乙或丙未获奖”;乙说:“甲、丙都获奖”;丙说:“我未获奖”;丁说:“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的,则( )
A. 甲和乙不可能同时获奖 B. 丙和丁不可能同时获奖
C. 乙和丁不可能同时获奖 D. 丁和甲不可能同时获奖
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【题目】设f(n)是定义在N*上的增函数,f(4)=5,且满足:
①任意n∈N*,f(n) Z;②任意m,n∈N*,有f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1).
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)求f(n)的表达式.
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【题目】椭圆:的左、右焦点分别为、,若椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆的左、右顶点, ()为椭圆上一动点,设直线分别交直线: 于点,判断线段为直径的圆是否经过定点,若是,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)将点坐标代人椭圆方程 并与离心率联立方程组,解得, (2)根据点斜式得直线方程,与直线联立解得点坐标,根据向量关系得为直径的圆方程,最后代人椭圆方程进行化简,并根据恒等式成立条件求定点坐标.
试题解析:(1)由已知,
∴①
∵椭圆过点,
∴②
联立①②得,
∴椭圆方程为
(2)设,已知
∵,∴
∴都有斜率
∴
∴③
∵
∴④
将④代入③得
设方程
∴方程
∴
由对称性可知,若存在定点,则该定点必在轴上,设该定点为
则
∴
∴,∴
∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.
点睛:定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,曲线在处的切线经过点.
(1)证明: ;
(2)若当时, ,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为,以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆的右顶点,点在轴上.若椭圆上存在点,使得,求点横坐标的取值范围.
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【题目】下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列,的前n项和为,则下列说法中正确的是( )
A.数列是递增数列B.数列是递增数列
C.数列的最大项是D.数列的最大项是
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为,
,消去参数可知曲线是圆心为,半径为的圆,由直线与曲线相切,可得: ;则曲线C的方程为, 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
可得曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
由此可求面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为,
曲线是圆心为,半径为的圆,直线与曲线相切,可得: ;可知曲线C的方程为,
所以曲线C的极坐标方程为,
即.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
当 时, ,
所以△MON面积的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数的定义域为;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最大值,若实数, , 满足,求的最小值.
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