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(理科)2013年将举办的第十二届中国•东海国际水晶节,主题为“水晶之都•福如东海”,于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便顾客,在休息区200m2的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域(阴影部分),已知下方是两个相同的矩形.在休闲区域四周各留下1m宽的小路,若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1:2.问如何设计休息区域,可使总休闲区域面积最大.
分析:设整个休息区域的宽为xm,建立休闲区域面积对应的函数关系式,利用基本不等式进行求解即可.
解答:解:设整个休息区域的宽为xm,则高为
200
x
m.
下方矩形宽为
x-3
2
,高为(
200
x
-3)×
2
3
=
400
3x
-2

上方矩形宽为x-2,高为(
200
x
-3)×
1
3
=
200
3x
-1
.        
则休闲区域面积y=2×
x-3
2
×(
400
3x
-2)+(x-2)×(
200
3x
-1)
=208-(
1600
3x
+3x)
≤208-2
1600
3x
×3x
=128
m2.       
当且仅当
1600
3x
=3x
,即x=
40
3
m时,上式取等号.
答:当矩形的宽为
40
3
m,高为15m时,休闲区域面积最大.
点评:本题主要考查函数的应用题,利用基本不等式进行求解是解决本题的关键.考查学生的运算能力.
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