Question

（本题满分10分）已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，
证明：（x₀）＜0．

Answer 1

（1）单调增加，在单调减少；（2）当，（3）见解析.

第一问利用导数求解得到。
（I） 
（i）若单调增加.
（ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.
第二问中，构造函数设函数则   

结合导数得到单调性判定进而求解。
第三问中，由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
解：（I） 
（i）若单调增加.
（ii）若且当

所以单调增加，在单调减少. ………………3分
（II）设函数则   

当.
故当，  ………………6分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设  
由（II）得从而
由（I）知，  ………………10分