Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|(k＞0)，令f(k)=

a

•

b

，
（1）求f(k)=

a

•

b

（用k表示）；
（2）当k＞0时，f(k)≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件把已知的等式两边平方展开整理易得函数f（k）的解析式．
（Ⅱ）由基本不等式求的函数f（k）的最小值等于

1

2

，问题等价于

1

2

≥x2-2tx-

1

2

 在[-1，1]上恒成立，故即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，所以

g(1)=2x-x2+1≥0 g(-1)=-2x-x2+1≥0

，由此求得实数x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设得|

a

|2=|

b

|2=1，对|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
两边平方得k2

a

2+2k

a

•

b

+

b

2=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)． …（2分）
展开整理易得f(k)=

a

•

b

=

k2+1

4k

(k＞0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f(k)=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

≥

1

2

，当且仅当k=1时取得等号．…（6分）
欲使f(k)≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，等价于

1

2

≥x2-2tx-

1

2

…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，
所以

g(1)=2x-x2+1≥0 g(-1)=-2x-x2+1≥0

，…（11分） 
解得1-

2

≤x≤

2

-1，…（13分）
故实数x的取值范围为[1-

2

，

2

-1]． …（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，以及函数的恒成立问题，求出函数f（k）的解析式，是解题的突破口，属于中档题．