Question

16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow n$=（cosA，sinA）．若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，且acosB+bcosA=csinC，则角B=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$便可得到cos$（A+\frac{π}{6}）$=0，根据A的范围，从而可得到A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理即可将acosB+bcosA=csinC变成sinAcosB+cosAsinB=sin²C，由两角和的正弦公式即A+B+C=π便可得到sinC=sin²C，从而得到sinC=1，得出C=$\frac{π}{2}$，这样便可得到B．

解答 解：$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}cosA-sinA$=$2cos（A+\frac{π}{6}）=0$；
∵0＜A＜π；
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$；
∴$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2r$；
∴a=2r•sinA，b=2r•sinB，c=2r•sinC，带入acosB+bcosA=csinC得：
2r•sinAcosB+2r•sinBcosA=2r•sin²C；
∴sin（A+B）=sinC=sin²C；
∴sinC=1，或sinC=0（舍去）；
∴$C=\frac{π}{2}$；
∴$B=π-A-C=\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，两角和的正余弦公式，三角形的内角和为π，以及正弦定理．