Question

2．已知函数y=ax²+2x+3（-1≤x≤1），a≠0，求函数y最小值．

Answer 1

分析 先求原函数的对称轴x=$-\frac{1}{a}$，可设y=f（x），这样讨论对称轴和区间[-1，1]的关系：分$-\frac{1}{a}≤-1$，$-1＜-\frac{1}{a}＜1$，和$-\frac{1}{a}≥1$三种情况，在每种情况里，根据二次函数f（x）的单调性及取得顶点或比较端点的值的方法求出原函数的最小值即可．

解答 解：原函数的对称轴为x=$-\frac{1}{a}$，设y=f（x）；
∴①$-\frac{1}{a}≤-1$，即0＜a≤1时，原函数在[-1，1]上单调递增；
∴x=-1时，原函数取到最小值a+1；
②$-1＜-\frac{1}{a}＜1$，即a＞1，或a＜-1；
1）a＞1时，$x=-\frac{1}{a}$时，f（x）取到最小值$3-\frac{1}{a}$；
2）a＜-1时，f（-1）=a+1，f（1）=a+5；
∴f（-1）＜f（1）；
∴f（-1）=a+1为f（x）的最小值；
③$-\frac{1}{a}≥1$，即-1≤a＜0时，f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴f（-1）=a+1为f（x）的最小值．

点评 考查二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，注意二次项系数a的符号，并要熟悉二次函数的图象．