Question

16．已知空间单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，若空间向量$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$+z$\overrightarrow{{e}_{3}}$满足：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=5，则x+y+z=$\frac{208}{25}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．

Answer 1

分析 由已和条件列出方程组，利用向量垂直的性质能求出结果．

解答 解：∵空间单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，
空间向量$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$+z$\overrightarrow{{e}_{3}}$满足：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{1}}=4}\\{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}=3}\\{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{3}}=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{5}y=4}\\{y=3}\\{\frac{4}{5}x+z=5}\end{array}\right.$，解得$x=\frac{8}{5}，y=3，z=\frac{93}{25}$，
∴x+y+z=$\frac{8}{5}+3+\frac{93}{25}$=$\frac{208}{25}$．
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{\frac{64}{25}+9+\frac{8649}{625}}$=$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．
故答案为：$\frac{208}{25}$，$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．

点评 本题考查代数式的值的求法，考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．