Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；
（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；
（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈[1，m]，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x＞0，∴ ，

∴ ，当且仅当 ，即x=1时“=”成立，即g（x）min=2，此时x=1

（2）解：f（x）的对称轴为x=1，

∴a=﹣1，

∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根，

∴g（x）=f（x）至少有一个实根，

即g（x）与f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，

∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，

∴1+c≥2，∴c≥1，

∴c的取值范围为[1，+∞）

（3）解：F（x）=x2﹣2x﹣c+4x+c=x2+2x，

∴F（x+t）=（x+t）2+2（x+t），

由已知存在实数t，对任意x∈[1，m]，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．

∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．

令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，

∴ ，即 ，

转化为存在t∈[﹣4，0]，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．

令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，

∴G（t）的对称轴为t=﹣（m+1），

∵m＞1，

∴﹣（m+1）＜﹣2．

①当﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3时，

，

∴ ，

∴1＜m＜3．

②当﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3时，

，

∴ ，

∴ ，

∴3≤m≤8．

综上，实数m的取值范围为（1，8]

【解析】（1）根据基本不等式即可求出函数的最值；（2）根据对称轴求出a=﹣1，分别求出f（x）max=1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；（3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0问题，考查h（x）的图象与性质，求出m的取值范围．