Question

已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，直线l过点P（0，1）
（Ⅰ）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，求直线l的方程
（Ⅱ）若直线l恰好经过点F且与抛物线C交于A，B两不同的点，求弦长|AB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当直线与抛物线的对称轴平行时直接写出直线方程，不平行时，设出直线方程，和抛物线方程联立后利用判别式等于0求解；
（Ⅱ）求出过P点和焦点的直线l的方程和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系结合抛物线的定义求得弦长|AB|的值．

解答：解：（Ⅰ）因为直线l与抛物线C有且仅有一个公共点
当直线与抛物线的对称轴平行时，l：y=1
当直线与抛物线的对称轴不平行时，设l：x=m（y-1）
与抛物线的方程联立得y²-4my+4m=0，
则△=16m²-16m=0⇒m=0或1，故此时直线l的方程为：x=0或y=x+1
综上，所求直线直线l的方程为：y=1或x=0或y=x+1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为直线l恰好经过点F．故l：y=-x+1，
代入抛物线方程得x²-6x+1=0．
x₁+x₂=6
所以弦长|AB|=x₁+x₂+2=8．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，是中档题．