Question

设f(x)=

x3

3

，对任意实数t，记gt(x)=t

2

3

x-

2

3

t．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x₀，使得g₈（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

Answer 1

分析：（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥g_t（x），求出f（x）最小指，和g_t（x）的最大值，从而求证；
（ⅱ）由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t，然后再证明x₀的唯一性．

解答：解：（I）解：y=

x3

3

-4x+

16

3

．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)=f(x)-gt(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)，则h′(x)=x2-t

2

3

，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t

1

3

，
当x∈(x

1

3

，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t

1

3

)=0．
故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=t

2

3

x-

2

3

t(t＞0)，则h′(t)=

2

3

t-

1

3

(x-t

1

3

)，
由h'（t）=0，得t=x³．
当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．
当t＞x³时，h'（t）＜0，
所以当t=x³时，h（t）取得最大值h(x3)=

1

3

x3．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)=

8

3

=gt(2)．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
下面证明x₀的唯一性：
当x₀≠2，x₀＞0，t=8时，f(x0)=

x03

3

，gx(x0)=4x0-

16

3

，
由（i）得，

x03

3

＞4x0-

16

3

，
再取t=x₀³，得gx03(x0)=

x03

3

，
所以gx(x0)=4x0-

16

3

＜

x03

3

=gx03(x0)，
即x₀≠2时，不满足g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）0≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x₀＞0，gx(x0)=4x0-

16

3

，
因为g_t（x₀）关于t的最大值是

1

3

x03，所以要使g_x（x₀）≥g_t（x₀）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-

16

3

≥

1

3

x03，
即（x₀-2）²（x₀+4）≤0，①
又因为x₀＞0，不等式①成立的充分必要条件是x₀=2，
所以有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

点评：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．