Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的图象上（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c₁=0，且对任意正整数n都有cn+1-cn=log

1

2

an，求证：对任意正整数n≥2，总有

1

3

≤

1

c2

+

1

c3

+

1

c4

+…+

1

cn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由点（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的图象上（n∈N^*），可得Sn=

1

6

-

1

3

an，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）对任意正整数n都有cn+1-cn=log

1

2

an=2n+1，利用“累加求和”可得c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=（n+1）（n-1）．当n≥2时，

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： （I）解：∵点（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的图象上（n∈N^*），
∴Sn=

1

6

-

1

3

an，
当n≥2时，Sn-1=

1

6

-

1

3

an-1，
∴an=

1

3

an-1-

1

3

an，化为an=

1

4

an-1，
当n=1时，a1=

1

6

-

1

3

a1，解得a₁=

1

8

．
∴an=

1

8

×(

1

4

)n-1=

1

2

×(

1

4

)n=(

1

2

)2n+1．
（2）证明：对任意正整数n都有cn+1-cn=log

1

2

an=2n+1，
∴c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+3
=

(n-1)(2n-1+3)

2

=（n+1）（n-1）．
∴当n≥2时，

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)．
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，
又

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

≥

1

c2

=

1

3

．
∴

1

3

≤

1

c2

+

1

c3

+

1

c4

+…+

1

cn

＜

3

4

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．