Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D，E为中点，

∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，

又∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，

∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，

又∵A1C1平面A1C1F，且DEA1C1F，

∴DE∥平面A1C1F

（2）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，

∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1且AA1∩A1B1=A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，

又A1C1∥AC∥DE，∴DE⊥平面AA1B1B，

又∵A1F平面AA1B1B，∴DE⊥A1F

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE，B1D平面B1DE，

∴A1F⊥平面B1DE，

又∵A1FA1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F

【解析】（1）推导出DE∥AC，从而DE∥A1C1 ， 由此能证明DE∥平面A1C1F．（2）推导出AA1⊥A1C1 ， 从而A1C1⊥平面AA1B1B，进而DE⊥平面AA1B1B，再由DE⊥A1F，得A1F⊥平面B1DE，由此能证明平面B1DE⊥平面A1C1F．