Question

20．如图，A，B，C，D都在同一个与水平垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°．
（Ⅰ）试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等；
（Ⅱ）已知AC=1km，求B，D间的距离．

Answer 1

分析 在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．

解答 解：（1）：在△ACD中，∠DAC=30°，∴∠ADC=60°-∠DAC=30°，∴CD=AC，
又∠BCD=180-60°-60°=60°，∴CB是△CAD底边AD的中垂线，∴BD=BA．
（2）∠ABC=75°-60°=15°，在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin60°}=\frac{AC}{sin15°}$，
∴AB=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
∴BD=AB=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．