Question

【题目】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆， 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．

(1) 写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；

(2) 问：中转点距离处多远时， 最小？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】试题分析：（1）在中，求出相关的角，利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为元关于的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值.

试题解析：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.

由正弦定理知，

即CD＝， AD＝，

所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a

＝a＋80a ＝a＋60a

(2) S′＝20 ，

令S′＝0得cos α＝

当cos α>时，S′<0； 当cos α<时，S′>0，

所以当cos α＝时，S取得最小值，

此时sin α＝，AD＝＝5＋，

所以中转点C距A处km时，运输成本S最小．