Question

已知直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx于A、B两点，P为弦AB的中点．OP的斜率为-

1

2

，求此抛物线的方程．

Answer 1

分析：要求抛物线的方程即需根据OP的斜率为-

1

2

求M的值即求出p点的坐标即可．由于P为弦AB的中点则结合中点坐标可知需将直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx的方程连立然后根据根与系数的关系求出x₁+x₂再根据A、B两点在直线y=1-2x上求出y₁+y₂即可求出中点p的坐标．

解答：解：设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
令

y=1-2x y2=mx

则4x²-（4+m）x+1=0
∴x1+x2=

4+m

4

∵y1+y2=2-2(x1+ x2)=-

m

2

∴p（

4+m

8

，-

m

4

）
∵OP的斜率为-

1

2

∴

- m 4

4+m 8

=-

1

2

∴m=

4

3

∴此抛物线的方程为y2=

4

3

x

点评：此题主要强化了直线与圆锥曲线综合问题的考察．解题的关键是要根据中点坐标公式分析出要将直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx的方程连立求出x₁+x₂，这种“设而不求”的解题方法在以后的学习中要多多注意!