Question

已知函数f（x）=msinx+ncosx，且是它的最大值，（其中m、n为常数且mn≠0）给出下列命题：
①是偶函数；
②函数f（x）的图象关于点对称；
③是函数f（x）的最小值；
④记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π
⑤．
其中真命题的是________（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

①②③⑤
分析：由题意可得f（x）= sin（x+ ），对于①，由于 =cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=时，f（x）=0，故②正确．
对于③，由于 =-，是 函数f（x）的最小值，故 ③正确．
对于④，由题意可得，|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ④不正确．
对于⑤，由tan∅=tan（2kπ+ ）==1，可得⑤正确．
解答：由于函数f（x）=msinx+ncosx= sin（x+∅），且是它的最大值，
∴+∅=2kπ+，k∈z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．
∴f（x）= sin（x+2kπ+）= sin（x+ ）．
对于①，由于 = sin（x++ ）=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点对称，故②正确．
对于③，由于 = sin（- ）=-，是 函数f（x）的最小值，故 ③正确．
对于④，函数f（x）的图象即把函数 y=sinx的图象向左平移 个单位得到的，故|P₂P₄|等于
一个周期2π，故 ④不正确．
对于⑤，由tan∅==1，可得⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到 f（x）=
sin（x+ ），是解题的关键．