Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）存在，λ＝2或

【解析】

（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p＝2，即得抛物线方程；

（2）依题意设，联立，消去，得．利用根与系数的关系结合，求得，再由求得的值，即可求得实数λ的值．

（1）由双曲线，得，，

则，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），

由抛物线C：y2＝2px（p＞0），且其焦点与双曲线的一个焦点重合，

可得，p＝2．

∴抛物线方程为y2＝4x；

（2）依题意，F（1，0），设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．

∴，…①

且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，

又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，

代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），

|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22

2

4t（y1+y2）+8，

＝（t2+1）（16t2+8）+4t4t+8＝16t4+40t2+16．

由16t4+40t2+16，解得或（舍），

∴，故λ＝2或．