Question

【题目】已知正三棱锥的体积为，每个顶点都在半径为的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：设BC=3k，根据勾股定理列方程得出k，求出OE，从而求出最小截面的半径，得出面积．

详解：设BC=3k，则R=2k（k＞0），设三棱锥的高为h，则，

∴h=．

∵球心O在了棱锥内部，∴h＞R，即＞2k，即k3＜12．

∵正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，

∴R2=（h﹣R）2+（k）2，解得k3=8或k3=24（舍），

∴k=2，R=4．

∵E为线段BD的中点，OB=OD=4，BD=6，∴OE=．

∴当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时截面圆的半径r==3，

∴截面圆面积最小值为πr2=9π．

故答案为：9π．