Question

①棱长为1的正四面体与一个球①若正四面体的四个顶点都在球面上，则这个球的表面积

3π

2

．
②若球与正四面体的六条棱都相切，则这个球的体积

2 π

24

．

Answer 1

分析：①把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出表面积；
②球与正四面体的六条棱都相切，球的直径就是正四棱锥的对棱的距离，然后求出球的体积．

解答：解：①将四面体补成正方体，则正方体的棱长是

2

2

，正方体的对角线长为：

6

2

，
则此球的表面积为：4π×(

6

4

)2=

3

2

π．
②若球与正四面体的六条棱都相切，则这个球的直径就是正四棱锥的对棱的距离，

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

2

．半径为

2

4

，球的体积为：

4π

3

(

2

4

)3=

2 π

24

；
故答案为：

3

2

π；

2 π

24

．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．