Question

（2013•南通一模）已知数列{a_n}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1 (n∈N*)．
（1）若a=-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对?n∈N^*，a_n是4的倍数．

Answer 1

分析：（1）由题意，令b_n=a_n-1，则b1=-5，bn+1=(-1)bn，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，a1=-4，an+1=3an-1+1，利用数学归纳法，结合二项式定理，即可证明结论．

解答：（1）解：a=-1时，a1=-4，an+1=aan-1+1
令b_n=a_n-1，则b1=-5，bn+1=(-1)bn
∵b₁=-5为奇数，b_n也是奇数且只能为-1
∴bn=

-5，n=1 -1，n≥2

，即an=

-4，n=1 0，n≥2

；
（2）证明：a=3时，a1=-4，an+1=3an-1+1
①n=1时，a₁=-4，命题成立；
②设n=k时，命题成立，则存在t∈N^*，使得a_k=4t
∴ak+1=3ak-1+1=3^4t-1+1=27•（4-1）^4（t-1）+1
∵（4-1）^4（t-1）=44(t-1)-

C

1 4(t-1)

•44t-5+…+

C	4t-3 4(t-1)

•4+1=4m+1，m∈Z
∴ak+1=3ak-1+1=27•（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1时，命题成立
由①②可知，对?n∈N^*，a_n是4的倍数．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法的运用，考查二项式定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．