【题目】已知,(且).
(1)判断的奇偶性并用定义证明;
(2)判断的单调性并有合理说明;
(3)当时,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2) 当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增;;(3)
【解析】
试题分析:(1)利用奇函数的定义和幂运算的性质即可证明函数为定义域上的奇函数;(2)先利用指数函数的单调性判断函数为R上的单调增函数,再利用函数单调性的定义,通过设 ,且 ,作差比较 与 的大小,即可证明函数的单调性;(3)利用函数的奇偶性将不等式转化为 ,再利用函数的单调性和定义域,将不等式转化为整式不等式组即可得不等式的解集.
试题解析:解:(1)因为函数的定义域为R,所以关于原点对称.又因为,所以 为奇函数.……4分
(2)当时, 为增函数, 为减函数,从而 为增函数,所以f(x)为增函数,
当 时, 为减函数, 为增函数,从而 为减函数,所以f(x)为增函数.
故当 ,且 时,f(x)在定义域内单调递增. ……4分
(3)由(2)知 在 上是增函数,所以在区间 上为增函数,所以 ,
所以,所以要使 在 上恒成立,则只需 ,
故的取值范围是 . ……4分
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【题目】销售甲、乙两种商品所得利润分别是(单位:万元)和(单位:万元),它们与投入资金(单位:万元)的关系有经验公式,. 今将万元资金投入经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投资(单位:万元),
(1)试建立总利润(单位:万元)关于的函数关系式;
(2)当对甲种商品投资(单位:万元)为多少时?总利润(单位:万元)值最大.
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【题目】下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.
A.4
B.2
C.3
D.1
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【题目】下列说法错误的是( )
A.若直线平面,直线平面,则直线不一定平行于直线
B.若平面不垂直于平面,则内一定不存在直线垂直于平面
C.若平面平面,则内一定不存在直线平行于平面
D.若平面平面,平面平面,,则一定垂直于平面
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【题目】在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为,(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为,A,B两点的极坐标分别为.
(1)求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最小值.
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【题目】梯形ABCD中,AB∥CD,AB平面α,CD平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行
B.平行或异面
C.平行或相交
D.异面或相交
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 |
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?
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