Question

6．设函数f（x）=x²+|x-a|-1，x∈R．
（Ⅰ）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，（-x）²+|-x|+1=x²+|x|-1，函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）讨论x去掉绝对值，然后利用二次函数的性质，讨论对称轴可求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，（-x）²+|-x|+1=x²+|x|-1，函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）①当x＜a时，f（x）=x²-x+a-1=（x-$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$
若a≤$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1；
若a＞$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{5}{4}$
②当x≥a时，f（x）=x²+x-a-1=（x+$\frac{1}{2}$）²-a-$\frac{5}{4}$
若a≤-$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-$\frac{1}{2}$）=-a-$\frac{5}{4}$且f（-$\frac{1}{2}$）≤f（a）
若a＞-$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1
综上，当a≤-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值为-a-$\frac{5}{4}$；
当-$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1}{2}$，函数f（x）的最小值为a²+1；
当a＞$\frac{1}{2}$时，函数f （x）的最小值为-$\frac{5}{4}$+a．

点评 本题主要考查了二次函数的对称性和奇偶性，以及单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．