Question

【题目】在直角坐标系xOy中，设圆的方程为（x+2 ）2+y2=48，F1是圆心，F2（2 ，0）是圆内一点，E为圆周上任一点，线EF2的垂直平分线EF1的连线交于P点，设动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l（与x轴不重合）与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点M．
（i）是否存在定点M，使得 + 为定值，若存在，求出点M坐标及定值；若不存在，请说明理由；
（ii）在满足（i）的条件下，连接并延长AO交曲线C于点Q，试求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆的方程为（x+2 ）2+y2=48的圆心F1为（﹣2 ，0），半径为4 ．

依题意点P满足 ，且4 ＞丨F1F2丨，

故点P的轨迹为以F1、F2为焦点，长轴为4 的椭圆

∴曲线C的方程： ．

（Ⅱ）（i）设M（t，0），设直线l的方程：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，整理得：（m2+3）y2+2mty+t2﹣12=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

= ， = ，

则 + = = ，

当2t2+24=72﹣6t2，即t2=6时， + =1，

此时M的坐标为（± ，0），

综上，存在点M（± ，0），使得 + =1，

（ii）由（i）可知：t2=6，则丨AB丨= 丨y1﹣y2丨= ，

原点O直线AB的距离d= ，S△ABQ=4× × = ，

令 =μ∈[ ，+∞），则S△ABQ= = ≤ =4 ，

当且仅当t= ，即m=0取最大值，

∴△ABQ面积的最大值4

【解析】（Ⅰ）由足 ，且4 ＞丨F1F2丨，则点P的轨迹为以F1、F2为焦点，长轴为4 的椭圆，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线l的方程，代入椭圆方程，由 + = ，利用韦达定理可知2t2+24=72﹣6t2，即可求得t的值， + =1；（ii）利用弦长公式，求得丨AB丨，利用点到直线距离公式，换元，即可求得△ABQ面积的最大值．