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已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),点A(m,f(m)),B(n,f(n)).
(1)设b=a,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的导函数f′(x)满足:当|x|≤l时,有|f′(x)|≤恒成立,求函数f(x)的表达式;
(3)若0<a<b,函数f(x)在x=m和x=n处取得极值,且a+b≤2.问:是否存在常数a、b,使得=0?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)由已知可得f'(x)=3x2-4ax+a2=0得:x1=,x2=a,要比较a与,的大小,故需分a>0,a<0 时,a=0 三种情况讨论,进行求解函数的单调区间
(2)由于f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab,当x∈[-1,1]时,恒有|f'(x)|≤
可得-,代入可求a,b的关系及函数的解析式
(3)假设存在a,b,使得,则可得m•n+f(m)•f(n)=0,由题设,m,n是f'(x)=0的两根,代入可得ab(a-b)2=9,结合基本不等式可求
解答:解:(1)f(x)=x3-2ax2+a2x 令f'(x)=3x2-4ax+a2=0,
得:x1=,x2=a.(2分)
1° 当a>0 时,x1<x2
∴所求单调增区间是,(a,+∞),单调减区间是(,a )
2° 当a<0 时,所求单调增区间是(-∞,a),,单调减区间是(a,
3° 当a=0 时,f'(x)=3x2≥0 所求单调增区间是(-∞,+∞).(5分)
(2)f(x)=x3-(a+b)x2+abx∴f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab,
∵当x∈[-1,1]时,恒有|f'(x)|≤∴-,(8分)即
此时,满足当x恒成立.
x.(10分)
(3)存在a,b,使得,则m•n+f(m)•f(n)=0
∴mn+mn(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=0由于0<a<b,知mn≠0
∴(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=-1<BR>①由题设,m,n是f'(x)=0的两根
②(12分)②代入①得:ab(a-b)2=9
,当且仅当时取“=”
∵a+b≤2
又∵ab=.(16分)
点评:本题以结合函数的导数知识:导数与函数的单调性、导数与函数的极值,考查了函数的恒成立问题的转化,属于函数知识的综合应用.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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