【题目】已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:
f1(x)=min{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b]),
f2(x)=max{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b])。
其中,min{f(x)| x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值。若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”。
(1)若f(x)=sinx,x∈[,
],请直接写出f1(x),f2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=(x-1)2,x∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k;如果不是,请说明理由。
【答案】(1) f1(x)=-1,x [-
,
];f2(x)=sinx,x
[-
,
] (2) 存在k=4
【解析】试题分析: (1)由题意可得:f1(x)=-1,x [-
,
];f2(x)=sinx,x
[-
,
]; (2)由函数f(x)=(x-1)2,x∈[-1,4],写出f1(x)和f2(x)的解析式,根据f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,分段列出不等式,求出函数最值代入,可得k的取值范围,即存在k=4,使得f(x)是[-1,4]上的4阶收缩函数.
试题解析:
(1)由题意可得:f1(x)=-1,x [-
,
];f2(x)=sinx,x
[-
,
].
(2)f1(x)=f2(x)=
f2(x)-f1(x)=
当x∈[-1,1)时,3+2x-x2≤k(x+1),所以k≥3-x,所以k≥4;
当x∈[1,3)时,4≤k(x+1),所以k≥,所以k≥2;
当x∈[3,4]时,(x-1)2≤k(x+1),所以k≥,所以k≥
.
综上所述,k≥4,即存在k=4,使得f(x)是[-1,4]上的4阶收缩函数。
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【题目】2017年,在国家创新驱动战略下,北斗系统作为一项国家高科技工程,一个开放型的创新平台,1400多个北斗基站遍布全国,上万台套设备组成星地“一张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备,已知这台设备从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为
元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了多少天,平均每天耗资多少钱?
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(k-3t2)+f(t2+2t)≤0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】函数f(x)=|x|﹣2|x+3|.
(1)解不等式f(x)≥2;
(2)若存在x∈R使不等式f(x)﹣|3t﹣2|≥0成立,求参数t的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,过点的直线
的参数方程为
(
为参数,
为
的倾斜角).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线
,曲线
.
(1)若直线与有且仅有一个公共点,求直线
的极坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于不同两点
,与
交于不同两点
,这四点从左到右依次为
,求
的取值范围.
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【题目】供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量分为五组,整理得到如下的频率分布直方图,则下列说法错误的是( )
A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B. 12月份人均用电量不低于20度的有500人
C. 12月份人均用电量为25度
D. 在这1000位居民中任选1位协助收费,选到的居民用电量在—组的概率为
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【题目】随着互联网的发展,移动支付又称手机支付
逐渐深入人民群众的生活
某学校兴趣小组为了了解移动支付在人民群众中的熟知度,对
岁的人群随机抽样调查,调查的问题是你会使用移动支付吗?”其中,回答“会”的共有50个人,把这50个人按照年龄分成5组,并绘制出频率分布表
部分数据模糊不清
如表:
分组 | 频数 | 频率 | |
第1组 | 10 | ||
第2组 | |||
第3组 | 15 | ||
第4组 | |||
第5组 | 2 | ||
合计 | 50 |
表中
处的数据分别是多少?
从第1组,第3组,第4组中用分层抽样的方法抽取6人,求每组抽取的人数.
在
抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
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【题目】网格纸的各小格都是边长为1的正方形,图中粗实线画出的是一个几何体的三视图,其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
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